TD2 - Polynômes

Exercice 1.

1) Soient \( A(X) = 2X^2 - 3X + 1 \) et \( B(X) = X^2 + 4X - 5 \). Calculer \( A + B \) et \( A \cdot B \). 2) Soient \( C(X) = X^3 - 2X + 1 \) et \( D(X) = X^2 + 3 \). Calculer \( C \cdot D \).       

Exercice 2.

  1. Effectuer la division euclidienne  de \( A(X) \) par \( B(X) \) dans les cas suivants :   
a) \( A(X) = X^3 - 2X^2 + 3X - 4 \) par \( B(X) = X - 1 \). 
b) \( A(X) = 2X^4 - 3X^3 + X^2 - 5 \) par \( B(X) = X^2 + 1 \). 
c) \( A(X) = X^5 + 2X^3 - X + 1 \) par \( B(X) = X^2 - 2 \). 

2. Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de \( A(X) = X^4 - 3X^2 + 2 \) par \( B(X) = X^2 - 1 \). 

Exercice 3.

1. Trouver les racines des polynômes suivants et préciser leur multiplicité :   
a) \( P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6 \)   
b) \( Q(X) = X^4 - 5X^2 + 4 \) 
c) \( R(X) = X^3 - 3X^2 + 3X - 1 \) 
2. Factoriser les polynômes suivants dans \( \mathbb{R}[X] \) et \( \mathbb{C}[X] \) : 
a) \( P(X) = X^4 - 1 \) 
b) \( Q(X) = X^4 + 4 \) 
c) \( R(X) = X^3 - 2X^2 + X - 2 \) 
3. Déterminer si les polynômes suivants sont irréductibles dans \( \mathbb{R}[X] \) : 
a) \( P(X) = X^2 + 1 \) 
b) \( Q(X) = X^2 - 2 \) 
c) \( R(X) = X^3 + X + 1 \) 

Exercice 4.

1. Trouver les racines complexes des polynômes suivants : 
\( P(X) = X^2 + 4 \) 
  \( Q(X) = X^3 - 1 \) 
\( R(X) = X^4 + 1 \) 
2. Montrer que si \( \alpha \) est une racine complexe d'un polynôme réel \( P(X) \), alors \( \overline{\alpha} \) est aussi une racine de \( P(X) \). 

Exercice 5.

1. Simplifier les fractions rationnelles suivantes  : 
a) \( F(X) = \frac{X^2 - 4}{X^2 - 2X} \) 
b) \( G(X) = \frac{X^3 - 1}{X^2 - 1} \) 
c) \( H(X) = \frac{X^4 - 16}{X^2 - 4} \) 
2. Trouver le domaine de définition  des fractions rationnelles suivantes : 
a) \( F(X) = \frac{X + 1}{X^2 - 4} \) 
b) \( G(X) = \frac{X^2 + 1}{X^3 - X} \) 
c) \( H(X) = \frac{X^3 - 8}{X^2 - 2X + 1} \) 

Exercice 6.

1. Déterminer la partie entière  des fractions rationnelles suivantes : 
a) \( F(X) = \frac{X^3 - 2X^2 + 3X - 4}{X - 1} \) 
b) \( G(X) = \frac{X^4 - 3X^2 + 2}{X^2 - 1} \) 
c) \( H(X) = \frac{X^5 + 2X^3 - X + 1}{X^2 - 2} \) 

Exercice 7.

1. Décomposer en éléments simples  dans \( \mathbb{C}[X] \) les fractions rationnelles suivantes : 
a) \( F(X) = \frac{1}{X^2 + 1} \) 
b) \( G(X) = \frac{X + 1}{(X - 1)(X - i)^2} \) 
c) \( H(X) = \frac{X^2 + 2}{X^4 - 1} \) 
2.  Décomposer en éléments simples  dans \( \mathbb{R}[X] \) les fractions rationnelles suivantes : 
a) \( F(X) = \frac{1}{X^2 + 1} \) 
b) \( G(X) = \frac{X^2 + 1}{X(X + 1)^2} \) 
c) \( H(X) = \frac{X^2 + 2}{X^4 - 1} \) 

Exercice 8.

1. Montrer que tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle. 
2. Soit \( P(X) \) un polynôme de degré \( n \). Montrer que si \( P \) admet \( n + 1 \) racines distinctes, alors \( P \) est le polynôme nul.   
3. Trouver tous les polynômes \( P(X) \) tels que \( P(X^2) = (P(X))^2 \).