Chapitre 2 : Les polynômes

Rappel.
1. Somme de deux polynômes.
2. Produit de deux polynômes.
3. Division euclidienne.
4. Plus grand commun diviseur.
5. Racines d’un polynôme et factorisation.
6. Division selon les puissances croissantes.
7. Décomposition en éléments simlpes.

Rappel.

Un polynôme de la variable $x$ est une expression de la forme $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,$$ où $n$ est un entier naturel, $a_n \neq 0$, et $a_i \in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ pour tout $i = 0, 1, \dots, n$. Les $a_i$ sont appelés les coefficients et n est appelé le degré de P. les $a_{i} x^{i}$ sont appelés des monômes
Exemple.
$P(x) = 6x^3 + 3x^2 + 5X+ 8$ avec $a_{3}=6$, $a_{2}=3$, $a_{1}=5$ et $a_{0}= 8$
$Q(x) = 2x^6 - 4x^5 + 10x^3 + 7x - 12$ avec $a_{6}=2$, $a_{5}=-4$, $a_{4}=0$, $a_{3}=10$, $a_{2}=0$, $a_{1}=7$ et $a_{0}=-12$

1. Somme de deux polynômes.

On additionne les monomes et on factorise chaque puissance:
$P(x) + Q(x)$ = $6x^3 + 3x^2 + 5X + 8 + 2x^6 - 4x^5 + 10x^3 + 7x - 12$
= $2x^6 - 4x^5 + (6 + 10)x^3 + 3x^2 + (7+5)x + 8 -12 $
= $2x^6 - 4x^5 + 16x^3 + 3x^2 + 12x -4 $

2. Produit de deux polynômes.

On multiplie chaque monôme du premier polynôme par tous les monômes du deuxième polynôme et on additionne les monômes résultants:
Exemple.
$ P(x) = 4x^3 + 2x^2 + 1$ et $Q(x) = x^3 + 5x + 3$ $P(x) . Q(x) = 4X^3 . (x^3 + 5x + 3) + 2x^2 . (x^3 + 5x + 3) + 1 . (x^3 + 5x + 3)$
$= 4x^6 + 20x^4 + 12x^3 + 2x^5 + 10x^3 + 6x^2 + x^3 + 5x + 3$
$= 4x^6 + 3x^5 + 20x^4 + 13x^3 + 6x^2 + 5x + 3$

Exercice 2.1.

Calculer le produit de $P(x)$ et $Q(x)$ dans les cas suivants:
a) $P(x) =6x^3 + 3x^2 + 5x + 8$ et $Q(x) = 2x^6 - 4x^5 + 10x^3 + 7x - 12$
b) $P(x) =(i + 3)x^2 + 3x + 1$ et $Q(x) = ix^3 + x + 2$

Solution.

a)
$P(x) . Q(x)$ = $(6x^3 + 3x^2 + 5x + 8) . (2x^6 - 4x^5 + 10x^3 + 7x - 12) = 6x^3 . 2x^6 + 6x^3 . (-4x^5) + 6x^3 . 10x^3 +$
$6x^3 . 7x + 6x^3 . (-12) + 3x^2 . 2x^6 + 3x^2 .(-4x^5) + 3x^2 . 10x^3 + 3x^2 . 7x + 3x^2 . (-12) + 5x . 2x^6 +$
$5x . (-4x^5) + 5x . 10x^3 + 5x . 7x + 5x . (-12) + 8 . 2x^6 + 8 . (-4x^5) + 8 . 10x^3 + 8 . 7x + 8 . (-12) $
$=12x^9 - 24x^8 + (6 + 30)x^6 + (-24 + 18)x^5 + (60 + 24)x^3 + (42 + 56)x^2 + (-72 + 96)x - 96$
$ =12x^9 - 24x^8 + 36x^6 - 6x^5 + 84x^3 + 98x^2 + 24x - 96$
b) $P(x) . Q(x) =((i + 3)x^2 + 3x + 1) . (ix^3 + x + 2) = (i + 3)x^2 . ix^3 + (i + 3)x^2 . x +$
$(i + 3)x^2 .2 + 3x . ix^3 + 3x . x + 3x . 2 + 1 . ix^3 + 1 . x + 1 . 2$
$=(ix^5 + (i+3)x^3 + 2(i+3)x^2) + (3ix^2 + 3x^2 + 6x) + (ix + x + 2)$
$=ix^5 + (3i - 3)x^3 + (6i + 6)x^2 + (3x + x) + (2 + i)$
$=ix^5 + (-3 + 3i)x^3 + (6i + 6)x^2 + 4x + (2 + i)$

3. Division euclidienne.

Le schéma de la division euclidienne d'un polynômes $A(x)$ par un polynôme $B(x)$ ressemble beaucoup à celui de la division euclidienne des entiers. On divise le monôme de plus grand degré de $A(x)$ par le monôme de plus grand degré de $B(x)$.
Pour effectuer la division $a(x)=5x^5-6x^2-8x+9$ par $ b(x)=x^2+x+1$ on procède comme suit :
On se pose la question : par quoi on va multiplier $x^2$ pour obtenir $5x^5 ?$, bien sûr on multiplie par $5x^3 .$ \[\begin{array}{r|l} \bbox[8px,border:2px solid red]{5x^5} - 6x^2-8x+9 & \underline{ \bbox[8px,border:2px solid red]{x^2} + x + 1}\\ & \bbox[8px,border:2px solid red]{5x^3} \\ &\\ \end{array} \] On multiplie $5x^3$ par $x^2 + x + 1$ et on retranche le résultat de $5x^5-6x^2-8x+9$ \[\begin{array}{r|l} 5x^5-6x^2-8x+9 & \underline{x^2 + x + 1}\\ - (\underline{5x^5 + 5x^4 +5x^3 })& 5x^3\\ - 5x^4 -5x^3 + -6x^2 - 8x +9 &\\ \end{array} \] Maintenant; On se pose la question : par quoi on va multiplier $x^2$ pour obtenir $- 5x^4?$, bien sûr on multiplie par $-5x^2 .$ \[\begin{array}{r|l} 5x^5-6x^2-8x+9 & \underline{\bbox[8px,border:2px solid red]{x^2} + x + 1}\\ - (\underline{5x^5 + 5x^4 +5x^3 })& 5x^3\bbox[8px,border:2px solid red]{-5x^2}\\ \bbox[8px,border:2px solid red]{- 5x^4} -5x^3 -6x^2 - 8x +9 &\\ \end{array} \] On multiplie $-5x^2$ par $x^2 + x + 1$ et on retranche le résultat de $- 5x^4 -5^3 + -6x^2 - 8x +9$ \[\begin{array}{r|l} 5x^5-6x^2-8x+9 & \underline{x^2 + x + 1}\\ - (\underline{5x^5 + 5x^4 +5x^3 })& 5x^3-5x^2\\ - 5x^4 -5x^3 -6x^2 - 8x +9 &\\ - (\underline{-5x^4 - 5x^3 -5x^2 })& \\ -x^2 - 8x +9& \\ \end{array} \] On se pose ensuite la question : par quoi on va multiplier $x^2$ pour obtenir $- x^2?$, bien sûr on multiplie par $-1 .$ \[\begin{array}{r|l} 5x^5-6x^2-8x+9 & \underline{\bbox[8px,border:2px solid red]{x^2} + x + 1}\\ - (\underline{5x^5 + 5x^4 +5x^3 })& 5x^3-5x^2 \bbox[8px,border:2px solid red]{-1}\\ - 5x^4 -5x^3 -6x^2 - 8x +9 &\\ - (\underline{-5x^4 - 5x^3 -5x^2 })& \\ \bbox[8px,border:2px solid red]{-x^2} - 8x +9& \\ \end{array} \] On multiplie $-1$ par $x^2 + x + 1$ et on retranche le résultat de $-x^2 - 8x +9$ :
\[\begin{array}{r|l} 5x^5-6x^2-8x+9 & \underline{x^2 + x + 1}\\ - (\underline{5x^5 + 5x^4 +5x^3 })& 5x^3-5x^2-1\\ - 5x^4 -5x^3 -6x^2 - 8x +9 &\\ - (\underline{-5x^4 - 5x^3 -5x^2 })& \\ -x^2 - 8x +9& \\ - (\underline{ -x^2 - x - 1})& \\ -7x +10& \\ \end{array} \] On constate que le degré de $-7x +10$ est inférieur au degré de $x^2+x+1$, on s'arrête et le résultat est :
$5x^5-6x^2-8x+9 = (x^2 + x + 1)(5x^3 - 5x^2 - 1) + ( -7x +10)$
Ainsi $Q(x)= 5x^3 - 5x^2 - 1$ est le quotient et $R(x) = -7x +10 $ est le reste de la division euclidienne de $a(x)$ par $b(x)$.

Exercice 3.1.

Effectuer les divisions euclidiennes des polynômes suivants :
a) $A(x)=3x^5 + 4x^2 + 1$ par $B(x) = x^2 + 2^x + 3$
b) $A(x) = 3x^5 + 2x^4 − x^2 + 1$ par $B(x) = x^3 + x + 2$
c) $A(x) = x^4 − x^3 +x − 2$ par $B(x) = X^2 − 2^x + 4$
d) $A(x) = x^5 − 7x^4 − x^2 − 9x + 9$ par $B(x) = x^2 − 5x + 4$

Solution.

a) Effectuons la division euclidienne de $A(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - x - 2 $ par $B(x) = x^3 - x^2 - x - 2$ \[\begin{array}{r|l} x^5 - 2x^4 + x^2 - x - 2 & \underline{x^3 - x^2 - x - 2}\\ \underline{-x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 }& x^2 - x\\ -x^4 + x^3 + 3x^2 - x - 2 &\\ \underline{+x^4 - x^3 - x^2 -2x }&\\ 2x^2 - 3x - 2 &\\ \end{array} \] Donc, la division euclidienne de \( A(x) \) par \( B(x) \) est : $ A(x) = (x^3 - x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - x) + ( 2x^2 - 3x- 2) $
Le quotient est $Q(x)= x^2 - x$ et le reste est $R(x) = 2x^2 - 3x + 2.$
b) Effectuons la division euclidienne de $A(x) = 3X^5 + 2X^4 − X^2 + 1 $ par $B(x) = X^3 + X + 2$ \[\begin{array}{r|l} 3x^5 + 2x^4 − x^2 + 1 & \underline{x^3 +x+ 2}\\ \underline{-3x^5 -3x^3 - 6x^2 }& 3x^2 +2x -3 \\ 2x^4 -3x^3 - 7x^2 +1 &\\ \underline{-2x^4 -2x^2 -4x }&\\ -3x^3 -9x^2 - 4x +1 &\\ \underline{3x^3 +3x +6}&\\ -9x^2 - x + 7 \end{array} \] Donc, la division euclidienne de \( A(x) \) par \( B(x) \) est : $ 3x^5 + 2x^4 − x^2 + 1 = (x^3 + x + 2) \cdot (3x^2 +2x -3) + ( -9x^2 - x + 7) $
Le quotient est $Q(x)= 3x^2 +2x -3$ et le reste est $R(x) = -9x^2 - x + 7.$
c) Effectuons la division euclidienne de $A(x) = x^4 - x^3 + x - 2$ par $B(x) = x^2 - 2x + 4.$ \[\begin{array}{r|l} x^4 - x^3 + x - 2 & \underline{x^2 - 2x + 4}\\ \underline{-x^4 +2x^3 - 4x^2 }& x^2 + x - 2\\ x^3 - 4x^2 + x - 2 &\\ \underline{x^3 + 2x^2 -4x }&\\ -2x^2 - 3x -2 &\\ \underline{2x^2 - 4x + 8}&\\ -7x + 6 \end{array} \] Donc, la division euclidienne de \( A(x) \) par \( B(x) \) est : $ x^4 - x^3 + x - 2 = ( x^2 - 2x + 4) \cdot (x^2 + x - 2) + (-7x + 6) $
Le quotient est $Q(x)= x^2 + x - 2$ et le reste est $R(x) = -7x + 6.$
d) Effectuons la division euclidienne de $A(x) = x^5 − 7x^4 − x^2 − 9x + 9$ par $B(x) = x^2 − 5x + 4.$ \[\begin{array}{r|l} x^5 − 7x^4 − x^2 − 9x + 9 & \underline{x^2 − 5x + 4}\\ \underline{-x^5 + 5x^4 - 4x^3}& x^3 -2x^2 -14x -63\\ -2x^4 - 4x^3 − x^2 − 9x + 9&\\ \underline{2x^4 - 10x^3 + 8x^2}&\\ - 14x^3 + 7x^2 − 9x + 9&\\ \underline{+14x^3 - 70x^2 +56x }&\\ -63x^2 + 47x + 9 &\\ \underline{63x^2 - 315x +252}&\\ -268x + 261 \end{array} \] Donc, la division euclidienne de \( A(x) \) par \( B(x) \) est : $ x^5 − 7x^4 − x^2 − 9^x + 9 = ( x^2 − 5x + 4) \cdot (x^3 -2x^2 -14x -63) + (-268x + 261) $
Le quotient est $Q(x)= x^3 -2x^2 -14x -63$ et le reste est $R(x) = -268x + 261.$

4. Plus grand commun diviseur.

Pour calculer le plus grand diviseur de deux polynômes $A(x)$ et $B(x)$ on utilise la méthode (dite algorithme d'Euclide) :
On effectue une suite de divisions euclidiennes jusqu'à trouver un reste nul :
$A(x)= B(x).Q_1(x) + R_1(x)$
$B(x)= R_1(x).Q_2(x) + R_2(x)$
$R1(x)= R_2(x).Q_3(x) + R_3(x)$
$R2(x)= R_3(x).Q_4(x) + R_4(x)$
...
$R_{k-2}(x)= R_{k-1}(x).Q_{k}(x) + R_{k}(x)$
$R_{k-1}(x)= R_{k}(x).Q_{k}(x) + 0$
Le reste est zéro, on s'arrête et le plus grand diviseur commun de ($A(x)$ , $B(x)$) est $R_{k}(x)$; c'est à dire le dernier reste non nul : pgcd($A(x)$ , $B(x)) = R_{k}(x)$
On peut shématiser cet algorithme par :
\[\begin{array}{r|l} A(X) & \underline{B(X)}\\ ...& Q_1(x)\\ ...&\\ R_1(x)& \\ \end{array} -> \begin{array}{r|l} B(X) & \underline{R_1(X)}\\ ...& Q_2(x)\\ ...&\\ R_2(x)& \\ \end{array} -> \begin{array}{r|l} R_1(X) & \underline{R_2(x)}\\ ...& Q_3(x)\\ ...&\\ R_3(x)& \\ \end{array} ... \] \[ ... \begin{array}{r|l} R_{k-2}(x) & \underline{R_{k-1}(x)}\\ ...& Q_{k}(x) \\ ...&\\ R_{k}(x)& \\ \end{array} -> \begin{array}{r|l} R_{k-1}(x) & \underline{R_{k}(x)}\\ ...& Q_{k+1}(x) \\ ...&\\ 0& \\ \end{array} \] Alors \[ \color{red}{pgcd(A(x) , B(x)) = R_{k}(x);} \] le dernier reste non nul.

Exercice 4.1.

Calculer le plus grand commun diviseur de $A(x)$ et $B(x)$ dans les cas suivants :
a) $A(x) = x^5 − 2x^4 + x^2 − x − 2$ et $B(x) = x^3 − x^2 − x − 2$
b) $A(x) = x^5 + 3x^4 + x^3 + x^2 + 3x + 1$ et $B(x) =x^4 + 2x^3 + x + 2$
c) $A(x) = nx^{n+1} − (n + 1)x^n + 1$ et $B(x) = x^n − nx + n − 1$ ($n ∈ \mathbf{N}^*$)

Solution.

a) Calculons pgcd$( x^5 − 2x^4 + x^2 − x − 2$ , $ x^3 − x^2 − x − 2$ :
\[\begin{array}{r|l} x^5 − 2x^4 + x^2 − x − 2 & \underline{x^3 − x^2 − x − 2}\\ \underline{−(x^5 − x^4 − x^3 − 2x^2)} & x^2 - x + 1\\ −x^4 + x^3 + 3x^2 −x −2 &\\ \underline{-(−x^4 +x^3 +x^2 + 2x)}& \\ 2x^2 −3x − 2 & \\ \end{array} \begin{array}{r|l} x^3 − x^2 − x − 2 & \underline{2x^2 −3x − 2}\\ \underline{−(x^3 − \frac{3}{2}x^2 -x)} & \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}x^2 −2 &\\ \underline{-( \frac{1}{2}x^2 -\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} )}& \\ \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} & \\ \end{array} \] \[\begin{array}{r|l} 2x^2 −3x − 2 & \underline{\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} }\\ \underline{-(2x^2 -4x) } & \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}\\ x -2 & \\ \underline{-( x - 2) } & \\ 0 & \\ \end{array} \]
On obtient un reste nul, donc le pgcd est les dernier reste non nul, c'est à dire : $\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} $
Ainsi $ pgcd( x^3 − x^2 − x − 2 , 2x^2 −3x − 2) = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} $
b) Calculons pgcd$( x^5 + 3x^4 + x^3 + x^2 + 3x + 1$ , $x^4 + 2x^3 + x + 2$) :
\[\begin{array}{r|l} x^5 + 3x^4 + x^3 + x^2 + 3x + 1 & \underline{x^4 + 2x^3 + x + 2}\\ \underline{-( x^5 + 2x^4 + x^2 + 2x)} & x + 1 \\ x^4 + x^3 + x + 1 & \\ \underline{-( x^4 + 2x^3 + x + 2 ) } & \\ - x^3 - 1 & \\ \end{array} \begin{array}{r|l} x^4 + 2x^3 + x + 2 & \underline{- x^3 - 1 }\\ \underline{-( x^4 + x )} & -x -2 \\ 2x^3 + 2 & \\ \underline{-( 2x^3 + 2 ) } & \\ 0 & \\ \end{array} \] On obtient un reste nul, donc le pgcd est les dernier reste non nul, c'est à dire : $ - x^3 - 1 $
Ainsi pgcd$( x^5 + 3x^4 + x^3 + x^2 + 3x + 1$ , $x^4 + 2x^3 + x + 2$) = $ - x^3 - 1 $
c) Calculons pgcd$( nx^{n+1} − (n + 1)x^n + 1$ , $ x^n − nx + n − 1)$ :
\[\begin{array}{r|l} nx^{n+1} − (n + 1)x^n + 1 & \underline{x^n − nx + n − 1}\\ \underline{-nx^{n+1} +n^2x^2 -n^2x + nx} & nx − (n + 1)\\ − (n + 1)x^n +n^2x^2 - n(n - 1)x + 1 &\\ \underline{+(n + 1)x^n - n(n + 1)x + n(n + 1) - (n + 1)}& \\ n^2x^2 - 2n^2x + n^2 & \\ \end{array} \] On pose $R_1(x) = n^2x^2 - 2n^2x + n^2 = n^2(x−1)^2$
Ainsi,
$nx^{n+1}−x^{n} + 1 = (x^n−nx+n−1)(nx−(n+1)) + n^2(x−1)^2$
Au lieu de diviser $x^n−nx + n−1$ par $R_1(x) = n^2(x−1)^2$ (Chose pénible ...),
On constate que :
$B(x) = x^n−nx + n−1 = x^n − 1 −n(x - 1) =(x−1)(x^{n−1} + x^{n−2} + ··· + x^2 + x + 1)$
$−n(x - 1)$
$ = (x−1)(x^{n−1} + x^{n−2} + ··· + x^2 + x − (n - 1)).$
$= (x−1)(x^{n−1} + x^{n−2} + ··· + x^2 + x + 1 - n ).$
$= (x−1)(x^{n−1} -1 + x^{n−2} -1 + ··· + x^2 -1 + x -1 + 1 -1).$
$ = (x−1)((x−1)[x^{n−2}+ ... +1] + (x−1)[x^{n−3}+ ... +1] + ··· + (x−1)(x+1) + (x−1) ).$
$ = (x−1)(x−1)([x^{n−2}+ ... +1] + [x^{n−3}+ ... +1] + ··· + ((x+1) + 1 ).$
$ = (x−1)^2([x^{n−2}+ ... +1] + [x^{n−3}+ ... +1] + ··· + ((x+1) + 1 ).$
Par suite, $B(x) = (x−1)^2 Q(x) = n^2(x−1)^2 \frac{Q(x)}{n^2}$
D'où $B(x) = n^2(x−1)^2 Q^{'}(x) = R_1(x)Q^{'}(x) + 0$
Donc $R_2(x) = 0$ et $pgcd(nx^{n+1} − (n + 1)x^n + 1, x^n − nx + n − 1)=R_1(x) = n^2(x−1)^2$.

5. Racines d’un polynôme et factorisation.

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Il y a plusieurs méthodes de factorisation des polynômes.
a) Factorisation par un monôme.
Si le terme constant de $P(x)$ est $0,$ alors on peut mettre $x$ (ou tout un monôme) en facteur. Par exemple :
$\quad A(x) = x^{2}-5x = x(x-5)$
$\quad B(x) = 4x^{7}-8x^{6}+6x^{5})= 2x^{5}(2x^{2} - 4x + 3)$
b) Identités remarquables.
On rappelle les identités remarquables de 2ème à retenir :
$\bullet \quad a^{2} +2ab + b^{2}= (a+b)^{2}$
$\bullet \quad a^{2} -2ab + b^{2} =(a -b)^{2} $
$\bullet \quad a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$
Exemples
$A(x) = 9x^{2}-16 = (3x-4)(3x+4)$
$B(x) = 25x^{2}-30x+9 = (5x-3)^{2} $
$C(x) = x^{2}+3x+2,25 = (x+\frac{3}{2})^{2}$
Les identités remarquables de 3ème sont aussi souvent utile :
$\bullet \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\bullet \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$\bullet \quad a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 =(a + b)^3 $
$\bullet \quad a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 $
c) Méthode du groupement de termes.
Exercice 5.1.
Soit $P=(X+1)^{7}-X^{7}-1. $ On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$
1. Montrer que $1+j=-j^{2}$
2. Montrer que j est une racine multiple de P.
3. Trouver deux racines réelles évidentes de P.
4. Factoriser P en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$ et puis dans $\mathbb{R}[X]$.
Solution.
1. On rappelle que : $j =e^{\frac{2i\pi}{3}} = cos(\frac{2\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$ où $i$ est l'imaginaire ($i^2 = -1$).
Donc $j^2 = e^{\frac{4i\pi}{3}} = cos(\frac{4\pi}{3}) + sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $j^3 = e^{\frac{2i\pi}{3}}= e^{2i\pi} = 1$
$1 + j = 1 -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$
D'où $1 + j = -j^{2}$
2.

Rappel :$a$ est une racine d'ordre $k$ d'un polynome $P \iff P$ s'annule en a et les dérivées successives de $P$ jusqu'à l'ordre $k-1$ s'annulent en $a$ et la dérivée d'ordre $k$ ne s'annule pas en $a$.
( $ \iff P(a) = P^{'}(a) = P^{''}(a) = P^{(3)}(a) = ... = P^{(k-1)}(a) =0$ et $P^{k}(a) \neq 0$ )

on a $P(j) = (j+1)^{7}-j^{7}-1 = (-j^2)^{7}-j^{7}-1 = -j^{14}-j^{7}-1$
$= -((cos(\frac{2\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3}))^{14}-(cos(\frac{2\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3}))^{7}-1$
$= -((cos(\frac{14\pi}{3}) + sin(\frac{14\pi}{3}))-(cos(\frac{7\pi}{3}) + sin(\frac{7\pi}{3}))-1$
$= -(-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{2} }{2})-(-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{2} }{2})-1 $
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} }{2}+\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{2} }{2})-1 = 0 $
donc $P(j) = 0$
On a $P^{'}(X) = 7(X+1)^{6}-7X^{6}. $ Donc $P^{'}(j) = 7(j+1)^{6}-7j^{6} = 7(-j^2)^{6}-7j^{6} = 7(j^2)^{6}-7j^{6} = 7j^{12}-7j^{6}= 7(j^3)^{4} - 7(j^3)^{2}$
$= 7(1)^{4} - 7(1)^{2} = 7-7 =0$ (car $j^3 =(e^{\frac{2i\pi}{3}})^3 = e^{2i\pi} = 1$). d'où $P^{'}(j) = 0.$
On a $P^{''}(j) = 42(X+1)^{5}-42X^{5}. $ Donc $P^{''}(j) = 42(-j^2)^5 - 42j^5 = -42j^{10} - 42j^5 = -42j^{3}(j^{7} + j^2)= -42(j^{7} + j^2)= -42(j^{4} + j^2) (j^3 = 1$).
donc $P^{''}(j) = -42j^2(j^{2} + 1) = -42j^2(-j ) = 42j^3 = 42 \neq 0$ .
Alors, puisque $P(j) = P^{'}(j)=0$ et $P^{''}(j) = 42 \neq 0$, on conclut que $j$ est une racine d'ordre 2 de P.
3. 0 et -1 sont deux recines réelles évidentes de P.
4.
Factorisation de $P$ dans $\mathbb{C}[X]$
On a $j$ est une racine double de $P$, donc aussi $\overline j$ est une racine double de $P$. Par suite $(X-j)^2$ et $(X-\overline j)^2$ sont des facteurs de $P$.
On a aussi $X$ et $X+1$ sont facteurs de $P$ ( car 0 et -1 sont des racines de $P$).
Par suite $P$ s'écrit sous la forme : $P(X) = X(X+1)(X-j)^2(X-\overline j)^2 Q(X)$ Cherchons la valeurs de $Q(X).$

Formule des binômes : $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$; avec $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} $;

En utilisant la formule des binômes on a :
$(X + 1)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} X^{7-k}\times 1^k$
$\quad = \binom{7}{0} X^7 + \binom{7}{1} X^6 \times 1 + \binom{7}{2} X^5 \times 1^2 + \binom{7}{3} X^4 \times 1^3 + \binom{7}{4} X^3 \times 1^4 + \binom{7}{5} X^2 \times 1^5 + \binom{7}{6} X \times 1^6 + \binom{7}{7} \times 1^7$
$\quad = X^7 + 7 X^6 + \binom{7}{2} X^5 + \binom{7}{3} X^4 + \binom{7}{4} X^3 + \binom{7}{5} X^2 + \binom{7}{6} X + \binom{7}{7} $
Donc $P(X) = (X+1)^{7}-X^{7}-1 = 7 X^6 + \binom{7}{2} X^5 + \binom{7}{3} X^4 + \binom{7}{4} X^3+ \binom{7}{5} X^2 +\binom{7}{6} X + \binom{7}{7} -1.$
Ainsi $deg(P(X)) = 6$ et par suite $deg(Q(X)) = 0$. Donc $ Q(X) = constante = 7$
Ainsi dans $ \mathbb{C}[X]$ on a : $P(X) = 7X(X+1)(X-j^2 )(X-\overline j)^2$
Factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$
La factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ sera déduite de celle dans $\mathbb{C}[X]$ en développant : $(X-j^2(X-\overline j)^2$.
$P(X) = 7X(X+1)(X-j^2(X-\overline j)^2 = 7X(X-1)((X-j)(X-\overline j))^2 = 7X(X-1)(X^2-X\overline j - jX + j\overline j)^2 $
$\quad = 7X(X-1)(X^2 -X(cos(\frac{2\pi}{3}) - sin(\frac{2\pi}{3})) - (cos(\frac{2\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3}))X + 1)^2 $
$\quad = 7X(X+1)(X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{2}X + 1)^2 = = 7X(X-1)(X^2 + X + 1)^2 $
La factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ est : $P(X) =7X(X+1)(X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{2}X + 1)^2 = 7X(X+1)(X^2 + X + 1)^2 $
Exercice 5.2.
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}$ les polynômes suivants:
1) $X^3 - 3.$
2) $X^9 + X^6 + X^3 + 1.$
Solution.
1) Factorisation de $X^3 - 3$ dans $\mathbb{R}[X]$ :
$X^3 - 3 = (X - 1)(X^2 + X × 3^\frac{1}{3} + (3^\frac{1}{3})^2)=(X - 1)(X^2 + 3^\frac{1}{3}X + (3^\frac{1}{3})^2)$
Voyons est ce qu'on peut encore factoriser $X^2 + 3^\frac{1}{3}X + (3^\frac{1}{3})^2 $.
On a $\Delta = (3^\frac{1}{3})^2 - 4×1×(3^\frac{1}{3})^2 = - 3×(3^\frac{1}{3})^2 =-3^\frac{5}{3} < 0$
Donc $X^2 + X × 3^\frac{1}{3} + (3^\frac{1}{3})^2 $ n’à pas de racines dans $\mathbb{R}[X]$. Il est donc irréductible.
D’où, $X^3 - 3 = (X - 1)(X^2 + 3^\frac{1}{3}X + (3^\frac{1}{3})^2$ est la factorisation de $X^3 - 3 $ dans $\mathbb{R}[X]$.
Factorisation de $X^3 - 3$ dans $\mathbb{C}[X]$ :
On a $X^3 - 3 = (X - 1)(X^2 + 3^\frac{1}{3}X + (3^\frac{1}{3})^2$.
Factorisons $X^2 + 3^\frac{1}{3}X + (3^\frac{1}{3})^2 $ dans $\mathbb{C}[X]$.
On a $\Delta =-3^\frac{5}{3}$ et $\delta =i3^\frac{5}{6}$ est une racine de $\Delta$
Donc, les racines de $X^2 + 3^\frac{1}{3}X + (3^\frac{1}{3})^2 $ dans $\mathbb{C}[X]$ sont:
$z_1 = \frac{-3^\frac{1}{3} - \delta}{2×1} =\frac{-3^\frac{1}{3} - i3^\frac{5}{6}}{2}$ et $z_2 = \frac{-3^\frac{1}{3} + \delta}{2×1}= \frac{-3^\frac{1}{3} + i3^\frac{5}{6}}{2}.$
La factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ est : $X^3 - 3 = (X - 1)(X - z_1 )(X - z_2 ) = (X - 1)(X - \frac{-3^\frac{1}{3} - i3^\frac{5}{6}}{2})(X - \frac{-3^\frac{1}{3} + i3^\frac{5}{6}}{2} ).$
2) Factorisation de $X^9 + X^6 + X^3 + 1$ dans $\mathbb{R}[X]$ :
Posons $P(X) = X^3 + X^2 + X + 1.$ Alors $X^9 + X^6 + X^3 + 1 = P(X^3).$ Or $X^3 + X^2 + X + 1 =\frac{X^4 - 1}{X-1}$ (Formule des binômes; voir en haut).
Donc $P(X) = \frac{X^4 - 1}{X-1}$ et a pour racines les racines de $X^4 - 1$ sauf 1 (1 n'est aps une racine de P). Ces racines sont : $i,\; -i\;$ et $-1$. (Les racines 4^{ème} de 1).
Par suite $P(X) = (X-i)(X+i)(X+1).$
D'où $X^9 + X^6 + X^3 + 1 =P(X^3 ) = (X^3 +1)(X^3 -i)(X^3 +i)= (X^3 +1)(X^6 + 1).$
$X^3 +1= (X+1)(X^2 - X +1)$ avec $ X^2 - X +1 $ n'a pas de racines réels.
Cherchons les racines de $X^6 +1$ : $X^6 +1 =0 \iff X^6 = -1.$ Donc $X^6 +1$ n'a pas de racines réelles.
Cherchons ses racines complexes :
$z =re^{i\theta}$ est racine de $X^6 +1 \iff r^6 e^{i6\theta} = -1 \iff r^6 (cos(6\theta) + i sin(6\theta)) = cos(\pi) + i sin(\pi)$
$\iff r =1$ et $6\theta \equiv \pi [2\pi] \iff r =1$ et $\theta = \frac{\pi + 2k \pi}{6} $ pour k = 0, 1, ...,5.
Les racines complexes de $X^6 +1$ sont donc les $z= e^{\frac{\pi + 2k \pi}{6}}$ pour k = 0, 1, ...,5.
Par suite, $X^6 +1= (X-e^{i\frac{\pi}{6}})(X-e^{3i\frac{\pi}{6}})(X-e^{5i\frac{\pi}{6}})(X-e^{7i\frac{\pi}{6}})(X-e^{9i\frac{\pi}{6}})(X-e^{11i\frac{\pi}{6}})$
Pour obtenir la décomposition dans $\mathbb{R}[X]$ on regroupe les termes conjugués et on calcule leurs produits :
$X^6 +1= (X-e^{i\frac{\pi}{6}})(X-e^{11i\frac{\pi}{6}}) (X-e^{3i\frac{\pi}{6}})(X-e^{9i\frac{\pi}{6}}) (X-e^{5i\frac{\pi}{6}})(X-e^{7i\frac{\pi}{6}})$
$\qquad = (X^2 - (e^{i\frac{\pi}{6}} + e^{11i\frac{\pi}{6}})X + e^{i\frac{\pi}{6}}e^{11i\frac{\pi}{6}}) (X^2 - (e^{3i\frac{\pi}{6}} + e^{9i\frac{\pi}{6}})X + e^{3i\frac{\pi}{6}}e^{9i\frac{\pi}{6}})$
$\qquad \qquad (X^2 - (e^{5i\frac{\pi}{6}} + e^{7i\frac{\pi}{6}})X + e^{5i\frac{\pi}{6}}e^{7i\frac{\pi}{6}})$
$\qquad = (X^2 - 2cos(\frac{\pi}{6})X + e^{ i2 \pi}) (X^2 - 2cos(\frac{3\pi}{6})X + e^{ i2 \pi}) (X^2 - 2cos(\frac{5\pi}{6})X + e^{ i2 \pi}) $
$\qquad = (X^2 - 2\frac{\sqrt 3}{2}X + 1) (X^2 - 2 \times 0 \times X + 1) (X^2 - 2 \frac{-\sqrt 3}{2})X + 1) $
$\qquad = (X^2 - \sqrt 3 X + 1) (X^2 + 1) (X^2 +\sqrt 3 X + 1) $
On obteint : $X^6 +1= (X^2 +1)(X^2 -\sqrt 3 X +1)(X^2 +\sqrt 3 X +1)$
Enfin on a : $X^9 + X^6 + X^3 + 1 =(X+1)(X^2 - X +1)(X^2 +1)(X^2 -\sqrt 3 X +1)(X^2 +\sqrt 3 X +1)$
Factorisation de $X^9 + X^6 + X^3 + 1$ dans $\mathbb{C}[X]$ :
On a : $X^9 + X^6 + X^3 + 1 = (X^3 +1)(X^6 + 1).$ (voir en haut)
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =(X+1)(X^2 - X +1)(X-e^{i\frac{\pi}{6}})(X-e^{3i\frac{\pi}{6}})(X-e^{5i\frac{\pi}{6}})(X-e^{7i\frac{\pi}{6}})$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (X-e^{9i\frac{\pi}{6}})(X-e^{11i\frac{\pi}{6}}) $
Il suffit donc de factoriser $X^2 - X +1$ dans $\mathbb{C}[X]$ : On a $\Delta = 4\times -4\times A\times 1 = -3$ et a pour racine $\delta = i\sqrt 3 $ .
Les racines de $X^2 - X +1$ dans $\mathbb{C}[X]$ sont donc : $z_1 = \frac{1 + i\sqrt 3}{2} = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}= e^{i\frac{\pi}{3}} $ et $z_2 = \frac{1 - i\sqrt 3}{2} = \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}= e^{i\frac{5\pi}{3}} $
D'où :
$X^9 + X^6 + X^3 + 1 =(X+1)(X - e^{i\frac{\pi}{3}} )(X - e^{i\frac{5\pi}{3}} )(X-e^{i\frac{\pi}{6}})(X-e^{3i\frac{\pi}{6}})(X-e^{5i\frac{\pi}{6}})(X-e^{7i\frac{\pi}{6}})$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(X-e^{9i\frac{\pi}{6}})(X-e^{11i\frac{\pi}{6}}) $

6. Division selon les puissances croissantes.

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Dans la division selon les puissances croissantes on ordonne les monômes des polynômes selon l'ordre croissant des degrés et on effectue la division comme pour la division euclidiènne. Pour effectuer une division selon les puissances croissantes à l'ordre k, on doit s'arrêter lorsque $X^{k+1}$ devienne un facteur du reste.
a) Effectuons la division selon les puissances croissantes de $A(x) = 1 - 2x + x^3 + x^4$ par $B(x) = 1 + 2x + x^2$ à l'ordre k=2:
\[\begin{array}{r|l} 1 - 2x + x^3 + x^4 & \underline{1 + 2x + x^2}\\ -\qquad\underline{1 + 2x + x^2}& 1 -4x + 6x^2\\ -4x - x^2 + x^3 + x^4&\\ -\qquad\underline{-4x -8x^2 -4x^3 }&\\ 6x^2 +5x^3 + x^4&\\ -\qquad\underline{ 6x^2 + 12x^3 + 6x^4 }&\\ -7x^3 -5x^4& \end{array} \] On arrêtte la division puisque le reste se factorise par $x^3$ : $R(x) = -7x^3 -5x^4 = x^3 (-7 -5x).$
Le résultat est : $1 - 2x + x^3 + x^4 = (1 + 2x + x^2)(1 -4x + 6x^2) -7x^3 -5x^4$
b) Effectuons la division selon les puissances croissantes de $A(x) = 1 + x^3 -2 x^4 + x^6$ par $B(x) = 1 + x^2 + x^3$ à l'ordre k=4:
\[\begin{array}{r|l} 1 + x^3 -2 x^4 + x^6 & \underline{1 + x^2 + x^3}\\ -\qquad\underline{ 1 + x^2 + x^3}& 1 - x^2 -x^4 \\ -x^2 -2 x^4 + x^6&\\ -\qquad\underline{ -x^2 -x^4 -x^5 }&\\ -x^4 + x^5 + x^6&\\ -\qquad\underline{ -x^4 -x^6 -x^7 }&\\ x^5 + 2x^6 +x^7&\\ \end{array} \] On constate que $x^5$ est facteur du reste: $R(x) = x^5 + 2x^6 +x^7= x^5 ( 1 + 2x + x^2 ).$
On a la division selon les puissances croissantes à l'ordre 4 : $1 + x^3 -2 x^4 + x^6 = (1 + x^2 + x^3)(1 - x^2 -x^4 ) = x^5 + 2x^6 +x^7$

7. Décomposition d'une fraction en éléments simlpes.

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♦ Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb{R}$ (ou dans $\mathbb{C}$) est le quotient $\frac{A(x)}{B(x)}$ de deux polynômes de $\mathbb{R}[X]$ (ou de $\mathbb{C}[X]$), avec $B(x)\neq 0$.
♦ Une fraction rationnelle $\frac{A(x)}{B(x)}$ est dite irréductible si $ A(x)$ et $B(x)$ sont premiers entre eux (n'ont pas de diviseur commun).
♦ Si \(deg(A(x)) \gt deg(B(x)),\) Par division euclidienne, on peut écrire : $\frac{A(x)}{B(x)} = E(X) + \frac{P(x)}{Q(x)}$, avec $\frac{P(x)}{Q(x)}$ irréductible et \(deg(P(x)) \lt deg(Q(x))\).
♦ $E(x)$ est un polynôme qu'on appelle partie entière de $\frac{A(x)}{B(x)}$.
♦ La décomposition d'une fraction rationnelle $\frac{A(x)}{B(x)}$ en éléments simple est l'écriture de $\frac{A(x)}{B(x)}$ comme somme de fractions de la formes $\color{blue}{\frac{a_i}{(x-a)^i}}$ ou $\color{red}{\frac{a_i x + b_i }{x^2 + p_i x + q_i }}.$
♦ Dans ce cours nous traitons les fractions irréductibles $\frac{A(x)}{B(x)}$ avec \(deg(A(x)) \lt deg(B(x))\).

7.1. Décomposition en éléments simple sur $\mathbb{R}$

Soit la fraction rationnelle irréductible $\frac{A(x)}{B(x)}$ à coefficients dans $\mathbb{R}$ telle que $degré(A(x)) < degré(B(x)).$
Alors;
1) $B(x)$ se factorise sous la forme : $ B(x) = (x-a)^{n_1 }(x - b)^{n_2 }...(x-l)^{n_r }(x^2 + p_1 x + q_1)^{m_1 }(x^2 + p_2 x + q_2)^{m_2 } ... (x^2 + p_s x + q_s)^{m_s } $,
où les facteurs \(x^2 + p x + q\) n'ont pas de racines dans $\mathbb{R}$ (c'est à dire : $\Delta = p^2 - 4 q \lt 0 $ )
2) La décomposition de $\frac{A(x)}{B(x)}$ en éléments simples s'obtient de la manière suivante :
- Chaque facteur $(x-a)^{n}$ donne $n$ fractions : $\color{red}{\frac{a_1 }{x-a } + \frac{a_2}{(x-a)^2} + ... +\frac{a_{n }}{(x-a)^{n}}}$
- Chaque facteur $(x^2 + p_i x + q_i)^{m}$ donne $m$ fractions : $\color{red}{\frac{a_1 x + b_1 }{x^2 + p_m x + q_m } + \frac{a_2 x + b_2}{(x^2 + p_m x + q_m)^{2}} + ... +\frac{a_{m } x + b_{m }}{(x^2 + p_m x + q_m)^{m}}}$

Exemple 1. Décomposition en éléments simples de la fraction :\(\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}.\)
\((x+1)^{2}\) donne deux fractions simples : \(\frac{a}{(x+1)^{2}} \) et \(\frac{b}{x+1}. \)
\( x+2 \) donne une fraction simple :\( \frac{c}{x+2}.\)
La écomposition en éléments simples est donc : \(\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{a}{(x+1)^{2}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}.\)
Calcul des coeficients $a$, $b$ et $c$. Pour le calcul des coeficients $a$, $b$ et $c,$ nous allons présenter deux méthodes :
\(1^{ère}\) méthode : L'identification. L'identification est un moyen sûr pour calculer la décomposition en éléments simples, mais elle demande souvent beucoup de calculs :
On met le deuxième membre au même dénominateur et on factorise son numérateur, on a alors;
\[\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{a}{(x+1)^{2}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}=\frac{a(x+2)+b(x+1)(x+2)+c(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)}\] \[=\frac{(b+c)x^{2}+(a+3b+2c)x+(2a+2b+c)}{(x+1)^{2}(x+2)},\] Puisque les deux dénominateurs sont les mêmes, on fait une identification entre les numérateurs et obtient : \(b+c=0\), \(a+3b+2c=1\) et \(2a+2b+c=3\). On doit donc résoudre le système linéaire de 3 équations à 3 inconnues : \begin{cases} b + c & = & 0 \\ a+3b+2c & = & 1\\ 2a+2b+c & = & 3 \end{cases} \[\begin{cases} b + c & = & 0 \\ a+3b+2c & = & 1\\ 2a+2b+c & = & 3 \end{cases} \iff \begin{cases} c & = & -b \\ a+ b & = & 1\\ 2a+2b+c & = & 3 \end{cases} \iff \begin{cases} c & = & -b \\ a & = & 1 - b\\ b & = & -1 \end{cases} \iff \begin{cases} c & = & 1 \\ a & = & 2\\ b & = & -1 \end{cases} \] La décomposition est donc : \(\frac{x+3}{xx+1)^{2}(x+2)}=\frac{2}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}.\)
On remarque que l'identification est déjà pénible pour calculer 3 coefficients, alors elle sera plus dificile pour plus de coefficients.
\(2^{ème}\) méthode : Multiplication par les facteurs du dénominateur et par x.
Les racines des dénominateurs sont appelés les pôles de la fraction. Dans cet exemple; les pôles sont -1 et -2.
On multiple dans les deux membres de la décomposition respectivement par \( x+2\) et \((x+1)^2 \) et on remplace x par -2 et -1 respectivement :
♦ Multiplication par x+2 :
\( (x+2)\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}= (x+2)\frac{a}{(x+1)^{2}}+(x+2)\frac{b}{x+1}+(x+2)\frac{c}{x+2}.\) D'où \(\frac{x+3}{(x+1)^{2} }=(x+2)\frac{a}{(x+1)^{2}}+(x+2)\frac{b}{x+1}+\frac{c}{1}.\)
En remplaçant x par -2 on obteint : c = 1.
♦ Multiplication par $(x+1)^2$ :
\( (x+1)^2\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}= (x+1)^2\frac{a}{(x+1)^{2}}+(x+1)^{2}\frac{b}{x+1}+(x+1)^{2}\frac{c}{x+2}.\) D'où \( \frac{x+3}{x+2}= \frac{a}{1}+(x+1)\frac{b}{1}+(x+1)^{2}\frac{c}{x+2}.\)
En remplaçant x par -1 on obteint : a = 2.
On constate que la multiplication par ces facteurs ne permet pas de calculer $b.$ Pour cela on utilise la technique suivante:
♦ Multiplication par x et calcul de limite en \(+\infty\)
$$\lim_{x\to +\infty} x\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}=\lim_{x\to +\infty} x(\frac{a}{(x+1)^{2}}+x\frac{b}{x+1}+x\frac{c}{x+2})$$ $$\text{Donc}\;\;\;\lim_{x\to +\infty} x\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}=\lim_{x\to +\infty} x\frac{a}{(x+1)^{2}}+ \lim_{x\to +\infty}x\frac{b}{x+1}+\lim_{x\to +\infty}x\frac{c}{x+2}$$ $$\text{Par suite}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2}{x^3}=\lim_{x\to +\infty} \frac{ax}{x^2}+ \lim_{x\to +\infty}\frac{bx}{x}+\lim_{x\to +\infty}\frac{cx}{x}$$ $$\text{D’où} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 = 0 + b + c$$ Par suite, b = -c = -1. Et donc a =2, b=-1 et c = 1.
Finalement on a la décomposition : \(\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{2}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}.\)
Exemple 2. Décomposition en éléments simples de la fraction :\( \frac{X}{(X+1)^{2}(X^{2}+2X+3)} \)
On a \(X^{2}+2X+3\) est irréductible car son discriminant \(\Delta = 2^2 - 4\times 1 \times 3 \lt 0 \).
La fraction se décompose donc sous la forme :
\begin{equation} \frac{X}{(X+1)^{2}(X^{2}+2X+3)}=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{(X+1)^{2}}+\frac{cX+d}{X^{2}+2X+3}. \end{equation} En multipliant par $(X+1)^2$ et en évaluant en \(X=-1\) on obtient \(b=-\frac{1}{2}.\)
En multipliant par $X$ et en passant à la limite en \(+\infty \), on a :
$$\lim_{X\to +\infty} X\frac{X}{(X+1)^{2}(X^{2}+2X+3)} =\lim_{X\to +\infty}X\frac{a}{X+1}+\lim_{X\to +\infty}X\frac{b}{(X+1)^{2}}+\lim_{X\to +\infty}X\frac{cX+d}{X^{2}+2X+3}$$ $$\Leftrightarrow \lim_{X\to +\infty} \frac{X^2}{X^{4} } =\lim_{X\to +\infty}\frac{aX}{X}+\lim_{X\to +\infty}\frac{bX}{X^{2}}+\lim_{X\to +\infty}\frac{cX^2}{X^{2}} \Leftrightarrow 0 = a + 0 + c$$ on obtientla relation : \(a + c = 0.\)
On constate qu'on a besoin de plus d'équations pour calculer tous les coefficient, on pose alors des valeurs bien choisies pour $X$ :
En pose $X=0;$ on a $0=a+b+\frac{d}{3}\Leftrightarrow 3a+d = \frac{3}{2}. $
Et en pose \(X=1.\) on obtient
$\frac{1}{24}=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}+\frac{c+d}{6}\Leftrightarrow 3a+c+d=1.$ (On a remplacé $b$ par $\frac{-1}{2}$)
Il suffit donc de résoudre le système
\[\begin{cases} a + c&=& 0\\ 3a + d&=& \frac{3}{2}\\ 3a + c + d &= & 1 \end{cases}\iff \begin{cases} a+c&=& 0\\ 3a+d&=& \frac{3}{2}\\ c &=& \frac{-1}{2} \end{cases}\iff \begin{cases} a&=& \frac{1}{2}\\ c&=& \frac{-1}{2}\\ d &=& 0 \end{cases}\] Et on obtient \(a=\frac{1}{2}\) et \(c=-\frac{1}{2}.\) En remplaçant ces valeurs dans l'équation (1), on obtient \begin{equation} \frac{X}{(X+1)^{2}(X^{2}+2X+3)}=\frac{1}{2}\frac{1}{X+1}-\frac{1}{2}\frac{1}{(X+1)^{2}}-\frac{1}{2}\frac{X}{X^{2}+2X+3}. \end{equation}

7.2. Décomposition sur $\mathbb{C}$

Soit une fraction rationnelle $A(x)/B(x)$ à coefficients dans $\mathbb{C}$. Dans $\mathbb{C}[x]$, tous les polynômes sont scindés et $B$ s'écrit sous la forme $B = k.(x-a)^{n_1 }(x - b)^{n_2 }...(x-l)^{n_r }$ on a la décomposition en éléments simples suivante :
\begin{equation} \frac{A}{B} = E + \color{red}{\frac{a_1 }{x-a } + \frac{a_2}{(x-a)^2} + ... +\frac{a_{n_1 }}{(x-a)^{n_1 }}} + \color{DarkBlue}{ \frac{b_1 }{(x-b )} + \frac{b_2 }{(x-b )^2} + ... +\frac{b_{n_2 }}{(x-b)^{n_2 }}} +\\ ... + \color{blue}{\frac{l_1 }{(x-l )} + \frac{l_2 }{(x-l)^2} + ... + \frac{l_{n_r }}{(x-l)^{n_r }}} \end{equation} - Il n'y a que des éléments de première espèce.
- E est un polynôme qu'on appelle partie entière de $\frac{A}{B}$
La décomposition s'effectue de la manière suivante :
Etape 1 : On détèrmine la partie entière E en effectuant la divsion euclidizenne de A par B,
Etape 2 : On décompose, si nécessaire, le dénominateur en facteurs irréductibles,
Etape 3 : Ecrire la forme de la décomposition, puis déterminer les coefficients.

Cas où \( deg(A) \lt deg(B) \)

Si \( deg(A) \lt deg(B) \) alors E = 0 et la décomposition s'écrit: \begin{equation} \frac{A}{B} = \color{red}{\frac{a_1 }{x-a } + \frac{a_2}{(x-a)^2} + ... +\frac{a_{n_1 }}{(x-a)^{n_1 }}} + \color{DarkBlue}{ \frac{b_1 }{(x-b )} + \frac{b_2 }{(x-b )^2} + ... +\frac{b_{n_2 }}{(x-b)^{n_2 }}} +\\ ... + \color{blue}{\frac{l_1 }{(x-l )} + \frac{l_2 }{(x-l)^2} + ... + \frac{l_{n_r }}{(x-l)^{n_r }}} \end{equation} Exercice 7.1.
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}$ les fractions suivantes :
1) \(\frac{x}{ x^3 - 1}\)
2) \(\frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}}\)
Solution.
1) On a \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\). Voyons est-ce qu'on peut encore factoriser \( x^2 + x + 1 \) dans $\mathbb{R}(x)$ : On a \( \Delta = 1 - 4 \times 1 \times 1 = -3 \lt 0. \) Donc \( x^2 + x + 1 \) n'a pas de racine dans $\mathbb{R}$ et ne peut plus être factorisé (il est irréductible dans $\mathbb{R}(x)$), d'où la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ de \(\frac{x}{ x^3 - 1} = \frac{x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \) est de la forme :
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{x}{ x^3 - 1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{ x^2 + x + 1 }\) $\qquad\qquad$ (*)
Cherchons a, b et c :
$\bullet$ On multiplie l'égalité (*) des deux cotés par x-1 et on remplace x par 1:
\((x-1)\frac{x}{ x^3 - 1} = (x-1)\frac{a}{x-1} + (x-1)\frac{bx+c}{ x^2 + x + 1 } \implies (x-1)\frac{x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = (x-1) \frac{a}{x-1} + (x-1)\frac{bx+c}{ x^2 + x + 1 }\)
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $\( \implies \frac{x}{ x^2 + x + 1 } = a + (x-1)\frac{bx+c}{ x^2 + x + 1 } \).
On remplace x par 1 et on a : \(\frac{1}{3 } = a\)
$\bullet$ On multiplie l'égalité (*) des deux cotés par x et on calcule la limite en $+\infty$ :
\( x \frac{x}{ x^3 - 1} = x \frac{a}{x-1} + x \frac{bx+c}{ x^2 + x + 1 } \implies \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{ x^3 - 1} = \lim_{x\to +\infty}\frac{ax}{x-1} + \lim_{x\to +\infty} \frac{bx^2+cx}{ x^2 + x + 1 } \).
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{ x^3} = \lim_{x\to +\infty}\frac{ax}{x} + \lim_{x\to +\infty} \frac{bx^2}{ x^2}\)
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies 0 = a + b$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies b = -a = - \frac{1}{3 }$
$\bullet$ On remplace x par 0 dans l'égalité (*) et on a : \( \frac{0}{ 0 - 1} = \frac{a}{0-1} + \frac{b\times 0 + c}{ 0 + 0 + 1 }\)
D'où $0 = -a + c$ et donc $c= a = \frac{1}{3}$
Par suite, la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ de \(\frac{x}{ x^3 - 1} \) est :
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\bbox[8px,border:2px solid red]{\frac{x}{ x^3 - 1} = \frac{\frac{ 1}{3} }{x-1} + \frac{-\frac{ 1}{3}x+\frac{ 1}{3}}{ x^2 + x + 1 }}\)
2) \(\frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = \frac{2x^2 + 1}{((x - 1)(x + 1))^{2}}=\frac{2x^2 + 1}{ (x - 1)^{2}(x + 1)^{2}}\)
Donc, la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ est de la forme :
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = \frac{a}{(x - 1) } + \frac{b}{(x - 1)^{2}} + \frac{c}{x + 1} + \frac{d}{(x + 1)^{2}} \qquad (**)\)
Calculons a, b, c et d:
$\bullet$ La multiplication par $x-1$ ne donne pas de résultat, on multiplie l'égalité (**) des deux cotés par $(x-1)^2$ et on remplace x par 1:
\((x-1)^2\frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = (x-1)^2\frac{a}{(x - 1) } + (x-1)^2\frac{b}{(x - 1)^{2}} + (x-1)^2\frac{c}{x + 1} + (x-1)^2\frac{d}{(x + 1)^{2}}\)
\((x-1)^2\frac{2x^2 + 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)^{2}} = (x-1)^2\frac{a}{(x - 1) } + (x-1)^2\frac{b}{(x - 1)^{2}} + (x-1)^2\frac{c}{x + 1} + (x-1)^2\frac{d}{(x + 1)^{2}}\)
\(\frac{2x^2 + 1}{ (x + 1)^{2}} = \frac{a(x-1)}{( 1) } + \frac{b}{(1} + (x-1)^2\frac{c}{x + 1} + (x-1)^2\frac{d}{(x + 1)^{2}}\)
On remplace x par 1 et on a :\( \frac{3}{4} = 0 + b + 0 + 0\). Donc \( b= \frac{3}{4} \)
$\bullet$ On multiplie l'égalité (**) des deux cotés par $(x+1)^2$ et on remplace x par -1 :
\((x+1)^2\frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = (x+1)^2\frac{a}{(x - 1) } + (x+1)^2\frac{b}{(x - 1)^{2}} + (x+1)^2\frac{c}{x + 1} + (x+1)^2\frac{d}{(x + 1)^{2}}\)
\((x+1)^2\frac{2x^2 + 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)^{2}} = (x+1)^2\frac{a}{(x - 1) } + (x+1)^2\frac{b}{(x - 1)^{2}} + \frac{c(x+1)}{1} + \frac{d}{1}\)
\( \frac{2x^2 + 1}{(x - 1)^{2} } = (x+1)^2\frac{a}{(x - 1) } + (x+1)^2\frac{b}{(x - 1)^{2}} + \frac{c(x+1)}{1} + \frac{d}{1}\)
On remplace x par -1 et on a : \( \frac{3}{4 } = 0 + 0 + 0 + d\) . Donc \( d=\frac{3}{4 } \)
$\bullet$ On multiplie l'égalité (**) des deux cotés par x et on calcule la limite en $+\infty$ :
\(x\frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = x\frac{a}{(x - 1) } + x\frac{b}{(x - 1)^{2}} + x\frac{c}{x + 1} + x\frac{d}{(x + 1)^{2}} \implies \frac{2x^3 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = x\frac{a}{(x - 1) } + x\frac{b}{(x - 1)^{2}} + x\frac{c}{x + 1} + x\frac{d}{(x + 1)^{2}}\)
\( \implies \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3 }{ x^4 } = \lim_{x\to +\infty}\frac{ax}{x } + \lim_{x\to +\infty}\frac{bx}{x^{2}} +\lim_{x\to +\infty}\frac{c x}{x} + \lim_{x\to +\infty}\frac{dx}{x^{2}}\)
\( \implies 0 = a + + 0 + c + 0 \)
Donc $a+ c = 0.$
$\bullet$ On remplace x par 0 dans l'égalité (**) et on a :
\( \frac{ 1}{( - 1)^{2}} = \frac{a}{( - 1) } + \frac{b }{( - 1)^{2}} + \frac{c}{ 1} + \frac{d}{( 1)^{2}} \implies 1 = -a + b + c + d \)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies 1 = -a +\frac{3}{4} + c + \frac{3}{4} \)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies -a + c +\frac{6}{4} =1 \)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies -a + c = \frac{-2}{4} = \frac{-1}{2}\)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \implies a - c = \frac{ 1}{2}\)
On a donc l'équation : \[\begin{cases} a+ c& = & 0\\ a - c&=& \frac{ 1}{2} \end{cases}\implies \begin{cases} a &=& -c\\ 2a &=& \frac{1}{2} \end{cases}\implies \begin{cases} a &=& -c\\ a &=& \frac{1}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} c &=& -\frac{1}{4}\\ a &=& \frac{1}{4} \end{cases} \] Finalement on a : \(a = \frac{1}{4},\quad b= \frac{3}{4},\quad c = -\frac{1}{4} \quad et \quad d = \frac{3}{4} \) Donc, la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ est :
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\bbox[8px,border:2px solid red]{ \frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{(x - 1) } + \frac{\frac{3}{4}}{(x - 1)^{2}} + \frac{-\frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{3}{4}}{(x + 1)^{2}} }\)
Exercice 7.2.
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{c}$ puis dans $\mathbb{R}$ la fraction suivante : \(\frac{x}{ x^2 + x + 1}\)
Solution.
1) Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(x)$ :
On doit factoriser \(x^2 + x + 1\) dans $\mathbb{C}(x)$. On a \(\Delta = 1^2 - 4\times 1\times 1 = -3\) et a pour racine \(\delta = i\sqrt 3\).
Donc \(x^2 + x + 1\) a pour racines \(z_1 = \frac{-1 - i\sqrt 3}{2} = \frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2} \) et \(z_2 = \frac{-1 + i\sqrt 3}{2}=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\).
Donc \(x^2 + x + 1 = (x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))(x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}))\).
La décomposition en éléments simples s'écrit : \(\frac{x}{ x^2 + x + 1}= \frac{a}{ x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}) } + \frac{b}{ x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) }\)
Calculons a et b :
\(\bullet\) On multiplie par : \(x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}) \) :
\((x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2})) \frac{x}{ x^2 + x + 1} = (x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))\frac{a}{ x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}) } + (x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))\frac{b}{ x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) }\)
D'où \((x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2})) \frac{x}{ (x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))(x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}))} = a + (x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))\frac{b}{ x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) }\)
Ainsi \(\frac{x}{ (x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}))} = a + (x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))\frac{b}{ x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) }\)
On remplace x par : \(\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\) et on a : \(\frac{\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}}{ (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2} - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}))} = a + (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2} - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}))\frac{b}{ \frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2} - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) }\)
Donc : \(\frac{\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}}{ +i \sqrt 3 } = a + 0\)
D'où : \(\bbox[8px,border:2px solid red]{ a = \frac{-1}{2i\sqrt 3}-i\frac{\sqrt 3}{2i \sqrt 3} = \frac{i\sqrt 3}{6}- \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt 3}{6}}\)
De même on multipliant par : \(x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) \) et on remplçant x par \( \frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2} \) on obtient : \( \bbox[8px,border:2px solid red]{ b = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt 3}{6}} \)
La décomposition en éléments simples dans s'écrit :\( \bbox[8px,border:2px solid red]{\frac{x}{ x^2 + x + 1}= \frac{- \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt 3}{6}}{ x - (\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}) } + \frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt 3}{6} }{ x - (\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}) }}\)
2) Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}$ :
\( \frac{x}{ x^2 + x + 1}\) est un élément simple dans $\mathbb{R}(x)$