Chapitre 1 : Les nombres complexes

1. Introduction.
2. Opérations sur les nombres complexes.
3. Représentation géométrique et forme trigonométrique
4. Forme exponentielle
5. Équations complexes
1. Introduction.
L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes a été construit en ajoutant à l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels un nombre $i$ imaginaire vérifiant $i^2 = -1$. Les éléments de $\mathbb{C}$ s'écrivent alors sous la forme $z = a + bi$, avec $a$ et $b \in \mathbb{R}$.
Soit $z = a + bi$ un nombre complexe.
Définition.

$\bullet \quad$ Le réel $a$ est appelé \textbf{partie réelle} de $z$ et l'on note $\textrm{Re}(z) = a$.
$\bullet \quad$ Le réel $b$ est appelé {\bf partie imaginaire} de $z$ et l’on note $\textrm{Im}(z) = b$.
$\bullet \quad$ Si $b = 0$, $z$ est réel et $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
$\bullet \quad$ Si $a = 0$, $z$ est un \textit{n ombre imaginaire pur}.

2. Opérations sur les nombres complexes.
Nous admettrons que l'on calcule dans $\mathbb{C}$ comme l'on calcule dans $\mathbb{R}$, mais en tenant compte de l'égalité $i^2 = -1$.

2.1. Addition et soustraction.
La somme et la différence de deux nombres complexes $z_1 = a + bi$ et $z_2 = c + di$ sont données par : \[ \begin{aligned} z_1 + z_2 &= (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), \\ z_1 - z_2 &= (a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d). \end{aligned} \] Prenons par exemple les nombres complexes $z_1 = 3 + 5i$ et $z_2 = 4 - 2i$. Nous avons :

• $z_1 + z_2 = 3 + 5i + 4 - 2i = 7 + 3i$,
• $z_1 - z_2 = 3 + 5i - (4 - 2i) = -1 + 7i$.

2.2. Multiplication.

Le produit de deux nombres complexes $z_1 = a + bi$ et $z_2 = c + di$ est : \[ z_1 \times z_2 = (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc). \] Reprenons $z_1$ et $z_2$ du paragraphe précédent : \[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 5i)(4 - 2i) = 12 - 6i + 20i - 10i^2 = 12 + 14i + 10 = 22 + 14i. \] Étant données les propriétés des opérations sur $\mathbb{R}$, on en déduit les propriétés des opérations valables pour tous les complexes $z_1, z_2$ et $z_3$ :

1. $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ (commutativité de l'addition),
2. $z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3$ (associativité de l'addition),
3. $z_1 + 0 = 0 + z_1 = z_1$ ($0$ est élément neutre pour l'addition),
4. $(a + ib) + (-a + i(-b)) = 0$ (tout nombre complexe a un opposé, l'opposé de $z_1 = a + ib$ est $-z_1 = -a - ib$),
5. $z_1 z_2 = z_2 z_1$ (commutativité de la multiplication),
6. $z_1 (z_2 z_3) = (z_1 z_2) z_3$ (associativité de la multiplication),
7. $1 \cdot z_1 = z_1 \cdot 1 = z_1$ ($1$ est élément neutre pour la multiplication).

Exemples.

• $i^2 = -1$, $i^3 = (i^2) \times i = -i$, $i^4 = i^3 \times i = -i^2 = 1$, puis $i^5 = i^4 \times i = 1 \times i = i$, $i^6 = i^4 \times i^2 = -1$, \ldots
• $(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times (2i) + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$.
• $\frac{1}{1 + i} = \frac{1}{1^2 + 1^2} - i \frac{1}{1^2 + 1^2} = \frac{1}{2}(1 - i)$.
• $(1 + i) \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2}(1 - i)(1 + i) = \frac{1}{2}(1 - i^2) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$.
• $-\frac{6 + 3i}{1 + i} \times \frac{6 - 3i}{i} = \frac{(6 + 3i)(6 - 3i)}{i(1 + i)} = \frac{36 - 9i^2}{i + i^2} = \frac{45}{-1 + i},$
• $-\frac{1 + 2i}{4 - i} + \frac{3}{2 + i} = \frac{(1 + 2i)(2 + i) + 3(4 - i)}{(4 - i)(2 + i)} = \frac{2 + 4i + i + 2i^2 + 12 - 3i}{8 + 2i - i^2} = \frac{12 + 2i}{9 + 2i}.$

2.3. Égalité.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. C'est-à-dire que si $a, b, a', b'$ sont des réels, on a $$ a + ib = a' + ib' \iff a = a'\; et\; b = b'. $$

2.4.Conjugué d'un nombre complexe
Si $ z = a + ib $ ($ a $ et $ b $ réels), on appelle conjugué de $ z $ et on note $ \overline{z} $, le nombre complexe : $$ \overline{z} = a - ib. $$ Exemples.

Si $ z = 2 - 5i $, alors $ \overline{z} = 2 + 5i $.

Propriétés : Quels que soient les complexes $ z $ et $ z' $ : $$ \overline{z+z'} = \overline{z} + \overline{z'}, \quad \overline{zz'} = \overline{z} \, \overline{z'}, \quad \overline{\frac{z}{z'}} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}, \quad \overline{\overline{z}} = z. $$ Théorème.

Si $ z = a + ib $ :

1. $ \mathrm{Re}(z) = a = \frac{z + \overline{z}}{2}, \quad \mathrm{Im}(z) = b = \frac{z - \overline{z}}{2i}, \quad \text{et} \quad z \overline{z} = a^2 + b^2. $
2. $ z \text{ réel} \iff z = \overline{z}. $

3. Représentation géométrique

3.1. Module d'un nombre complexe Head

Définition.

Si $ z = a + ib $ ($ a $ et $ b $ réels), on appelle **module** de $ z $ et on note $ |z| $, le réel positif ou nul défini par : $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \overline{z}}. $$

Propriété

1. $ |z| = |\overline{z}| = |-z|. $
2. $ z = 0 \iff |z| = 0. $
3. $ |zz'| = |z| |z'|. $
4. Si $ z \neq 0 $, alors $ \left| \frac{z'}{z} \right| = \frac{|z'|}{|z|}. $

Exemple

Écrire sous forme algébrique les complexes suivants : $$ \frac{1}{1-i} \quad \text{et} \quad \frac{2+i}{-3+i}. $$

3.2. Représentation géométrique

On suppose le plan $ P $ rapporté à un repère orthonormé $ (O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) $.
- À tout nombre complexe $ z = a + ib $, on fait correspondre le point $ M $ de $ P $ de coordonnées $ (a, b) $ appelé image de $ z $ et noté $ M(z) $.
- À tout point $ M $ du plan de coordonnées $ (a, b) $, est associé le complexe $ z_M = a + ib $ appelé affixe du point $ M $.

Définition.

- À tout nombre complexe $ z = a + ib $, est associé le vecteur $ \overrightarrow{w} $ de $ P $ de coordonnées $ (a, b) $.
- À tout vecteur $ \overrightarrow{w} $ du plan de coordonnées $ (a, b) $, est associé le complexe $ z_w = a + ib $ appelé affixe du vecteur $ \overrightarrow{w} $.

Propriétés.

- Si $ z $ est le nombre complexe d'image $ M $, alors $ OM = |z| $.
- Pour tous points $ M $ et $ N $ d'affixes $ z_M $ et $ z_N $ :
- L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{MN} $ est $ z_N - z_M $.
- La distance $ MN = |z_N - z_M| $.

Exemple

Placer dans le plan complexe les points d'affixes : $$ z_1 = 2 + 3i, \; z_2 = -1 + 2i, \; z_3 = 2 - i, \; z_4 = i, \; z_5 = -1. $$

Forme trigonométrique

On munit le plan complexe $ P $ d'une orientation. Le sens positif est celui du cercle trigonométrique (inverse de celui des aiguilles d'une montre). Soit $ z = a + ib $, un nombre complexe non nul d'image $ M $. Il lui correspond un unique angle de vecteurs $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM})$. Cet angle a une infinité de mesures (en radians) et si $ \theta $ est l'une d'elles, les autres sont de la forme $ \theta + 2k\pi \; (k \in \mathbb{Z}) $. La mesure principale est celle qui appartient à $ ]-\pi, \pi] $. Un argument de $ z $ est l'une de ces mesures et est noté $ \mathrm{arg}(z) $.
Un complexe $ z $ est donc parfaitement déterminé dès qu'on en connaît son module $ |z| = r $ et un de ses arguments $ \theta $.

$ M $ a alors pour coordonnées : $(r \cos\theta, r \sin\theta)$, donc si $ z = a + ib $ a pour module $ r $ et pour argument $ \theta $ : $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta). $$ On dit que $ z $ est alors mis sous forme trigonométrique et on a $ a = r\cos\theta $ et $ b = r\sin\theta $. On note aussi $ z = [r, \theta] $ s'il n'y a pas d'ambiguïté.

Propriétés

Si $ z $ est un nombre complexe non nul de forme algébrique $ z = a + ib $ et de forme trigonométrique $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $, alors : $$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \text{et} \quad \begin{cases} \cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{cases} $$

Exemples

- Tout réel positif a pour argument $ 0 $ et pour module lui-même.
- Tout réel négatif a pour argument $ \pi $ et pour module son opposé.
- $ i $ a pour argument $ \frac{\pi}{2} $ et pour module $ 1 $. - $ -i $ a pour argument $ -\frac{\pi}{2} $ et pour module $ 1 $.

Propriétés des arguments

Soient $ z $ et $ z' $ deux nombres complexes non nuls, on a :
- $ \mathrm{arg}(zz') = \mathrm{arg}(z) + \mathrm{arg}(z') + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. $
- $ \mathrm{arg}\left(\frac{1}{z}\right) = -\mathrm{arg}(z) + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. $
- $ \mathrm{arg}\left(\frac{z}{z'}\right) = \mathrm{arg}(z) - \mathrm{arg}(z') + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. $
- $ \mathrm{arg}(z^n) = n\mathrm{arg}(z) + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. $
- $ \mathrm{arg}(\overline{z}) = -\mathrm{arg}(z) + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. $

4. Forme exponentielle

Si $ z = a + ib $ a pour module $ r $ et pour argument $ \theta $, alors : $$ z = r\exp(i\theta). $$ Cette notation est appelée "notation exponentielle".

Propriétés avec la notation exponentielle

Les résultats déjà vus s'écrivent ainsi : $$ \exp(i\theta) \times \exp(i\alpha) = \exp(i(\theta+\alpha)), \quad \frac{1}{\exp(i\theta)} = \exp(-i\theta), \quad \overline{\exp(i\theta)} = \exp(-i\theta), $$ $$ \frac{\exp(i\theta)}{\exp(i\alpha)} = \exp(i(\theta-\alpha)), \quad (\exp(i\theta))^n = \exp(in\theta), \; n \in \mathbb{Z}. $$

Règles de calcul de l'argument d'un nombre complexe

Soit un nombre complexe $ z = a + bi $

Cas 1 : Si $ a > 0 $ (partie réelle positive)

- Le point $ (a, b) $ est dans le quadrant I ou quadrant IV .
- L'argument est donné directement par : $$ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right). $$

Cas 2 : Si $ a \lt 0 $ (partie réelle négative)

- Le point $ (a, b) $ est dans le quadrant II ou quadrant III du plan. - Il faut ajouter ou soustraire $ \pi $ à l'angle principal obtenu par $ \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ :
- Si $ b > 0 $ (quadrant II), alors : $$ \theta = \pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right). $$ - Si $ b \lt 0 $ (quadrant III du plan), alors : $$ \theta = -\pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right). $$

Cas 3 : Si $ a = 0 $ (partie réelle nulle)

- Le point $ (a, b) $ est sur l'axe imaginaire.
- Si $ b > 0 $, alors $ z $ est sur l'axe imaginaire positif et : $$ \theta = \frac{\pi}{2}. $$ - Si $ b \lt 0 $, alors $ z $ est sur l'axe imaginaire négatif et : $$ \theta = -\frac{\pi}{2}. $$

Cas 4 : Si $ b = 0 $ (partie imaginaire nulle)

- Le point $ (a, b) $ est sur l'axe réel.
- Si $ a > 0 $, alors $ z $ est sur l'axe réel positif et : $$ \theta = 0. $$ - Si $ a \lt 0 $, alors $ z $ est sur l'axe réel négatif et : $$ \theta = \pi. $$

Remarques

- L'argument principal $ \arg(z) $ est généralement choisi dans l'intervalle $ ]-\pi, \pi] $ (ou $ [0, 2\pi[ $ selon la convention utilisée).
- Si $ z = 0 $, l'argument n'est pas défini car $ z $ correspond à l'origine du plan complexe.

Exemple

Soit $ z = -1 + i $ : - Partie réelle $ a = -1 $, partie imaginaire $ b = 1 $.
- Le point $ (-1, 1) $ est dans le quadrant II.
- Calculons $ \tan(\theta) = \frac{b}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $.
- Donc $ \theta = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} $ (valeur principale de $ \arctan $).
- Puisque le point est dans le quadrant II, on ajoute $ \pi $ :
$$ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}. $$ Ainsi, $ \arg(z) = \frac{3\pi}{4} $.

Exercice

Écrire sous la forme exponentielle ou sous la forme trigonométrique les nombres complexes suivants : $$ a = i, \; b = -2, \; c = 3+\sqrt{3}i, \; d = \frac{2}{1-i}, \; e = \frac{1+i}{1+\sqrt{3}i}. $$

Formules d'Euler

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, \quad \cos(\theta) = \frac{\exp(i\theta) + \exp(-i\theta)}{2}, \quad \sin(\theta) = \frac{\exp(i\theta) - \exp(-i\theta)}{2i}. $$

Formule de Moivre

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, \; n \in \mathbb{Z}, \quad (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta). $$

5. Équations complexes

Racines $ n $-èmes de l'unité

Définition

Les racines $ n $-èmes d'un nombre complexe $ a $ sont toutes les solutions de l'équation $ z^n = a $.

Remarque

Cette équation a généralement plusieurs solutions. Il est incorrect de parler de "la racine $ n $-ème" d'un complexe comme on peut le faire pour un réel. De même, le symbole $ \sqrt{} $ doit être évité lorsqu'on travaille avec des complexes.

Définition

On appelle **racines $ n $-èmes de l'unité** les racines $ n $-èmes du nombre $ 1 $.

Théorème

Les racines $ n $-èmes de l'unité sont les $ n $ complexes : $$ \exp\left(\frac{2ik\pi}{n}\right), \quad k \in \{0, \ldots, n-1\}. $$

Remarque

Dans le plan complexe, les racines $ n $-èmes forment un $ n $-gone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

Définition

On note habituellement $ j = \exp\left(\frac{2i\pi}{3}\right) $. Les racines cubiques de l'unité sont $ 1, j, j^2 = \overline{j} $.

Propriété

Soit $ z = r\exp(i\theta) = [r, \theta] $ un nombre complexe mis sous forme trigonométrique. Ses $ n $ racines $ n $-èmes sont les nombres de la forme : $$ \sqrt[n]{r}\exp\left(\frac{i\theta}{n} + \frac{2ik\pi}{n}\right) = [\sqrt[n]{r}, \frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}], \quad k \in \{0, \ldots, n-1\}. $$

Résolution des équations du second degré

Soient $ a, b, c \in \mathbb{C} $ avec $ a \neq 0 $ et l'équation $ az^2 + bz + c = 0 $. On note $ \Delta = b^2 - 4ac $ son discriminant et $ \delta $ une racine carrée de $ \Delta $. Alors :
- Si $ \Delta \neq 0 $, l'équation admet deux solutions : $$ z_1 = \frac{-b - \delta}{2a}, \quad z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}. $$ - Si $ \Delta = 0 $, l'équation admet une solution double : $$ z = \frac{-b}{2a}. $$

Remarque

Si les coefficients sont réels et $ \Delta$ négative, alors $ z_1 $ et $ z_2 $ sont conjugués l'un de l'autre.

Exemple

Résoudre l'équation $ z^2 - (1+4i)z + 3i - 3 = 0 $.

Solution

On a $ a = 1, b = -(1+4i), c = 3i-3 $, donc : $$ \Delta = b^2 - 4ac = (1+4i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3i-3) = -3 - 4i = -(2+i)^2 = i^2(2+i)^2 = (i(2+i))^2. $$ Ainsi, $ \delta = i(2+i) $ est une racine de $\Delta$. Les solutions sont donc : $$ z_1 = \frac{-b + \delta}{2} = \frac{(1+4i) + i(2+i)}{2} = 3i, $$ $$ z_2 = \frac{-b - \delta}{2} = \frac{(1+4i) - i(2+i)}{2} = 1+i. $$

Calcul des racines carrées de $\Delta$

Si $z = a + bi$ on pose $w = x + yi$ une de ses racines carrées. On a alors :

$$w^2 = z$$

$$(x + yi)^2 = a + bi$$

$$x^2 + 2xyi - y^2 = a + bi$$

En égalant les parties réelles et imaginaires, on obtient deux équations :

• $x^2 - y^2 = a$
• $2xy = b$

On a un système de deux équations à deux inconnues qu'on peut résoudre de la manière suivante :

• Exprimer y en fonction de x : $y = \frac{b}{2x}$ (si $x \neq 0$)
• Substituer dans la première équation : $x^2 - \left(\frac{b}{2x}\right)^2 = a$
• Simplifier et résoudre pour x : $x^4 - ax^2 - \frac{b^2}{4} = 0$. On pose $X = x^2$ et on résout l'équation du second degré $X^2 - aX - \frac{b^2}{4} = 0$. On obtient deux solutions pour $X$, dont une seule est positive (car $x$ est réel). On prend la racine carrée de cette solution pour trouver $x$.
• Calculer y : Une fois $x$ trouvé, on utilise $y = \frac{b}{2x}$ pour calculer $y$.

On obtient ainsi une première racine carrée $w_1 = x + yi$. L'autre racine carrée est simplement l'opposée : $w_2 = -x - yi$.

Exemple

Trouver les racines carrées de $z = 3 + 4i$ :

1. Posons l'équation : $(x + yi)^2 = 3 + 4i$
2. Séparer les parties : $x^2 - y^2 = 3$ et $2xy = 4$
3. Résoudre le système :
   • $y = \frac{2}{x}$
   • $x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$
   • $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
   • On pose $X = x^2$, on résout $X^2 - 3X - 4 = 0$, on trouve $X = 4$ (la solution positive)
   • $x = \pm 2$
   • Si $x = 2$, alors $y = 1$. Si $x = -2$, alors $y = -1$.
4. Les racines : Les racines carrées de $3 + 4i$ sont $2 + i$ et $-2 - i$.

Remarque

Cette méthode peut conduire à des équations plus complexes à résoudre, nécessitant de distinguer plusieurs cas selon les signes de $a$ et $b$. Il y a une autre méthode qui se base sur la forme polaire et la formule de Moivre.